Question

（本小题满分14分）设函数f（x）＝x2＋aln（x＋1）.

（1）若函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：.

 

Answer 1

（1）[－4，＋∞）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据f '（x）≥0在区间[1，＋∞）上恒成立，可求得a的取值范围；（2）现根据f '（x）＝0，找到x1，x2的关系，将转换为一个字母x2的函数式，然后利用x2的范围，利用函数的单调性找到最值，即可求出的范围.

试题解析：（1）由题意，f '（x）＝≥0在区间[1，＋∞）上恒成立

即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立

而－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4

故a≥－4

经检验，当a＝－4时，f '（x）＝

当x∈[1，＋∞）时，f '（x）≥0，所以满足题意的a的取值范围是[－4，＋∞）

（2）函数的定义域为（－1，＋∞），f '（x）＝

依题意，方程2x2＋2x＋a＝0在区间（－1，＋∞）上有两个不相等的实根

记g（x）＝2x2＋2x＋a

则有，解得0＜a＜

x2为方程2x2＋2x＋a＝0的解，∴a＝－2x22－2x2.

∵0＜a＜，x1＜x2＜0，x2＝－，∴－＜x2＜0，从而x1＜0

先证＞0，因为x1＜x2＜0，即证f（x2）＜0

∵在区间（x1，x2）内，f '（x）＜0，在区间（x2，0）内，f '（x）＞0

∴f（x2）为极小值，f（x2）＜f（0）＝0

∴＞0成立.

再证＋ln2，

即证f（x2）＞（－＋ln2）（－1－x2）＝（－ln2）（x2＋1）

令g（x）＝，x∈（－，0）

g'（x）＝2x－（4x＋2）ln（x＋1）－－ln2）

＝－2（2x＋1）ln（x＋1）－（－ln2）

又ln（x＋1）＜0，2x＋1＞0，－ln2＜0

∴g'（x）＞0，即g（x）在（－，0）上是增函数

g（x）＞g（－）＝

＝

＝－ln2

综上可得，成立

考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，极值，方程，不等式