Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．
（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB?面PCD，CD?面PCD，∴AB∥面PCD…（2分）
又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF…（4分）
解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD…（5分）
∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，
如图，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz…（6分）
由PA=PD=AD=2得，G（0，0，0），A（1，0，0），
$B（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-2，\sqrt{3}，0）$，D（-1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$…（7分）
又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，
∴$F（-\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{AF}=（-\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，
设平面AFE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{z=\sqrt{3}x}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}\end{array}}\right.$，
不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为$\overrightarrow n=（3，\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$，…（9分）
∵BG⊥平面PAD，∴$\overrightarrow{GB}=（0，\sqrt{3}，0）$是平面PAF的一个法向量，…（10分）
$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{GB}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GB}|}}{{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{GB}|}}=\frac{3}{{\sqrt{39}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$，…（11分）
∴平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值为：
$sin＜\overrightarrow n，\overrightarrow{GB}＞=\sqrt{1-{{cos}^2}＜\overrightarrow n，\overrightarrow{GB}＞}=\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查直线与直线平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．