Question

17．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$
• C． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，2}）$

Answer 1

分析 由题意可化为函数f（x）图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，
而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，
∴f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的图象与y=-kx-1的图象如下，
易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），
设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C（x，xlnx-2x），
y′=lnx-1，
故lnx-1=$\frac{xlnx-2x+1}{x}$，
解得，x=1；
故k_AC=-1；
设直线AB与y=x²+$\frac{3}{2}$x相切于点B（x，x²+$\frac{3}{2}$x），
y′=2x+$\frac{3}{2}$，
故2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}{x}$，
解得，x=-1；
故k_AB=-2+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
故-1＜-k＜-$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜k＜1；
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．