Question

18．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-2x²+cx在R上单调递增且ac≤4，则$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$的最小值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意，f'（x）≥0恒成立，可求出关于a，c的不等式，联立ac≤4，化简$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$并求出其最小值．

解答 解：由题意，
因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-2x²+cx在R上单调递增，
所以f'（x）=ax²-4x+c≥0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac≤0}\end{array}\right.$，
所以ac≥4，
又因为ac≤4，
所以ac=4且a＞0，c＞0，
$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$=$\frac{a}{{c}^{2}+ac}+\frac{c}{{a}^{2}+ac}$=$\frac{a}{c（c+a）}+\frac{c}{a（c+a）}$
=$\frac{1}{c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{c+a}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$）-$\frac{2}{c+a}$≥$2\sqrt{\frac{1}{ac}}-\frac{2}{2\sqrt{ac}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了利用导数求函数单调性，基本不等式等内容，解题关键是将函数单调性问题转化为恒成立问题，以及观察式子将其转化为与已知条件相关的形式即转化为与ac=4相关的问题．难度属于中上档．