Question

14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数$f（x）=\frac{kx}{1+|x|}$（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意便知方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{kx}{1+|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有两个解，从而可得到$x（1-\frac{k}{1+|x|}）=0$至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．

解答 解：根据题意知方程$\frac{kx}{1+|x|}=x$至少有两个不同实数根；
即$x（1-\frac{k}{1+|x|}）=0$至少有两个实数根；
∴$1-\frac{k}{1+|x|}=0，x≠0$；
∴k=1+|x|＞1；
∴实数k的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．