Question

已知圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB的长；
（2）求圆心在直线y=-x上，且过A、B两点的圆的方程；
（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

考点：相交弦所在直线的方程,圆系方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求公共弦AB所在的直线方程，再求出C₁到直线AB的距离，即可求公共弦AB的长；
（2）求出过C₁，C₂的直线与直线y=-x的交点，可得圆心坐标，求出圆心到AB的距离，可得半径，从而可得圆的方程；
（3）过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆．

解答：解：（1）由两圆方程相减即得x-2y+4=0，此为公共弦AB所在的直线方程．
圆心C₁（-1，1），半径r₁=

10

C₁到直线AB的距离为d=

|-1+2+4|

5

=

5

，
∴公共弦长|AB|=2

r12-d2

=2

5

；
（2）圆心C₂（1，-5），过C₁，C₂的直线方程为

y+1

-5+1

=

x+1

1+1

，即2x+y+3=0．
由

2x+y+3=0 y=-x

得所求圆的圆心为（-3，3），
它到AB的距离为d=

|-3-6+4|

5

=

5

，
∴所求圆的半径为

5+5

=

10

，
∴所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10；
（3）过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆
由

x-2y+4=0 2x+y+3=0

，得圆心（-2，1），半径r=

5

，
∴所求圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．