题目内容
设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，且2bcosA=
ccosA+
acosC
（1）求角A的大小：
（2）若角B=
，角A的平分线交方BC于M，且AM的长为
，求AB的长和△ABC的面积．
| 3 |
| 3 |
（1）求角A的大小：
（2）若角B=
| π |
| 6 |
| 7 |
分析：（1）将已知等式右边提取
，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，根据b不为0，左右两边同时除以b，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据题意画出相应的图形，由AM为角平分线，利用角平分线定义求出∠CAM的度数，由∠BMA为三角形ACM的外角，利用外角的性质求出∠BMA的度数，再由∠B的度数，及AM的长，利用正弦定理求出AB的长，由三角形ABC为等腰三角形，利用三线合一得到D为AB的中点，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出h的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
| 3 |
（2）根据题意画出相应的图形，由AM为角平分线，利用角平分线定义求出∠CAM的度数，由∠BMA为三角形ACM的外角，利用外角的性质求出∠BMA的度数，再由∠B的度数，及AM的长，利用正弦定理求出AB的长，由三角形ABC为等腰三角形，利用三线合一得到D为AB的中点，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出h的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：
解：（1）∵2bcosA=
ccosA+
acosC=
（acosC+ccosA）=2
R（sinAcosC+sinCcosA）=2
Rsin（A+C）=2
RsinB=
b，
∴cosA=
，又A为三角形的内角，
∴A=
；
（2）在等腰三角形ABM中，B=
，AM=
，
∵AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠BAM=
，
∴∠BMA=
+
=
，
由正弦定理
=
，得AB=
=
，
∴AB边上的高为h=
tan
=
，
则S△ABC=
•AB•h=
．
解：（1）∵2bcosA=| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴cosA=
| ||
| 2 |
∴A=
| π |
| 6 |
（2）在等腰三角形ABM中，B=
| π |
| 6 |
| 7 |
∵AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠BAM=
| π |
| 12 |
∴∠BMA=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 3π |
| 4 |
由正弦定理
| AM |
| sinB |
| AB |
| sin∠BMA |
| ||||
sin
|
| 14 |
∴AB边上的高为h=
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
| ||
| 6 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
7
| ||
| 6 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
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