Question

已知在数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

(an-1)an

}的前n项和为T_n ，证明：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把给出的数列递推式变形，得到

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用累加法求得数列的通项公式，再利用等差数列的定义证明数列{a_n}是等差数列；
（2）把{a_n}的通项公式代入

1

(an-1)an

，放大后列项，然后利用裂项相消法求得数列{

1

(an-1)an

}的前n项和为T_n ，则结论得到证明．

解答： 证明：（1）由（n+1）a_n-na_n+1=1，得

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则

a1

1

-

a2

2

=1-

1

2

，

a2

2

-

a3

3

=

1

2

-

1

3

，
…

an-1

n-1

-

an

n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）．
累加得：a1-

an

n

=1-

1

n

=

n-1

n

，即a_n=2n+1，
由a_n+1-a_n=2（n+1）+1-2n-1=2为常数．
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列；
（2）

1

(an-1)an

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2×3

+

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

6

+

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)=

1

6

+

1

6

-

1

2(2n+1)

=

1

3

-

1

2(2n+1)

＜

1

3

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，是中高档题．