题目内容

已知a，b∈R，a+b=1，x1•x2∈R．
（1）求
x1
a
+
x2
b
+
2
x1x2
的最小值；
（2）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＞x1x2．
考点：不等式的证明
专题：综合题,推理和证明
分析：（1）利用基本不等式，即可求出
x1
a
+
x2
b
+
2
x1x2
的最小值；
（2）展开，利用基本不等式可得结论．
解答： （1）解：∵a，b∈R，a+b=1，x1，x2∈R，
∴
x1
a
+
x2
b
+
2
x1x2
≥3
3
x1
a
•
x2
b
•
2
x1x2
=3
3
2
ab
≥3
3
2
(
a+b
2
)2
=6，
当且仅当a=b=0.5，x1=x2=1时，
x1
a
+
x2
b
+
2
x1x2
的最小值为6；
（2）证明：（ax1+bx2）（ax2+bx1）=（a2+b2）x1x2+ab（x12+x22）
≥（a2+b2）x1x2+2abx1x2=（a+b）2x1x2≥x1x2．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为
 
；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为
 
．
已知sin（3π-α）=
2
cos（
3π
2
+β），
3
cos(-α)=-
2
cos(π+β)且0＜α＜π，0＜β＜π．求α、β．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为
 
．
若变量x，y满足约束条件
y≤2x
x+y≤1
y≥-1
，则x-2y最小值为（　　）
A、0
B、
3
2
C、-1
D、4
双曲线
x2
4
-
y2
m
=1的离心率为
5
2
，则m=
 
，其渐近线方程为
 
．
已知角α的终边上有一点P（3，y），且sinα=-
2
3
，求y的值，及cosα，tanα，cotα的值．
若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
已知tanθ=2，则2sin2θ+sinθcosθ-cos2θ=（　　）
A、-
4
3
B、-
6
5
C、
4
5
D、
9
5

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