Question

11．矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上运动，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠ABO的大小为$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由题意，画出图形，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ．θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²=2$\sqrt{2}$sin（2θ$-\frac{π}{4}$）+3，利用θ的范围结合正弦函数的有界性求OC的最大值时θ的大小，即可得出∠ABO的大小．

解答 解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ．θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²
=1+4sinθcosθ+4sin²θ
=1+2sin2θ+2（1-cos2θ）
=2$\sqrt{2}$sin（2θ$-\frac{π}{4}$）+3，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴（θ-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴当2θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{3π}{8}$时，|OC|²取得最大值是2$\sqrt{2}$+3；
∴此时∠ABO的大小为$\frac{π}{8}$；
故答案为：$\frac{π}{8}$．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、点的坐标、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．