Question

10．已知$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$在同一平面内，且$\vec a$=（1，2）．
（1）若|$\vec c$|=2$\sqrt{5}$，且$\vec c$∥$\vec a$，求$\vec c$；
（2）若|$\vec b$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且（$\vec a$+2$\vec b$）⊥（2$\vec a$-$\vec b$），求$\vec a$与$\vec b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的共线定理与模长公式，即可求出$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）由两向量垂直数量积为0，列方程求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再利用数量积的定义求出$\vec a$与$\vec b$的夹角大小．

解答 解　（1）∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，
则$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），
又|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，∴λ²+4λ²=20
解得λ=±2，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）平面内向量夹角的θ的取值范围是θ∈[0，π]．
∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
又∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴2×${（\sqrt{5}）}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{2}$；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-1，
∴$\vec a$与$\vec b$的夹角为θ=180°．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，也考查了向量共线定理的应用问题，是综合性题目．