Question

16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx+$\sqrt{3}$（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=$\sqrt{3}$．c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），由题意可得函数的周期为π，由周期公式可得ω，可得函数解析式和单调递增区间；
（Ⅱ）由题意和前面解析易得C=$\frac{π}{3}$，再由题意正弦定理可得b=2a，由余弦定理可解得a值和b值，代入面积公式计算可得．

解答 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx+$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx-$\sqrt{3}$（2cos²ωx-1）
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）
∵y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期为π，故$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵角C为锐角，且f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2C-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
解得C=$\frac{π}{3}$，或C=$\frac{π}{2}$（舍去），
又∵c=3，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a，
由余弦定理可得3²=a²+（2a）²-2a•2acos$\frac{π}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和正余弦定理以及三角形的面积公式，属中档题．