Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=

1-an

2

（n∈N^*），数列{b_n}是公差d＞0的等差数列，且b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的两根．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用已知条件求出数列数列{a_n}的首项，判断数列是等比数列，然后求出通项公式；b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的两根，求出这两项，利用等差数列的性质求解{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过c_n=a_nb_n，化简求解，然后利用作差法证明：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）利用错位相减法直接求解数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=1-a_n，∴当n=1时，2a₁=1-a₁，
所以a1=

1

3

当n=1时，2S_n=1-a_n…①，2S_n-1=1-a_n-1…②，
①-②得：2a_n=-a_n+a_n-1，
所以3a_n=a_n-1，∴

an

an-1

=

1

3

，
所以数列{a_n}是首项为a1=

1

3

，公比q=

1

3

的等比数列，
∴an=a1qn-1=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

因为b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的两根，且公差d＞0，
∴b₃=5，b₅=9，

b3=b1+2d=5 b5=b1+4d=9

⇒

b1=1 d=2

，
所以{b_n}的通项公式为b_n=b₁+（n-1）d=2n-1
（Ⅱ）证明：cn=anbn=

(2n-1)

3n

，
cn+1-cn=

(2n+1)

3n+1

-

(2n-1)

3n

=

4(1-n)

3n+1

，
∵n∈N^*，∴cn+1-cn=

4(1-n)

3n+1

≤0，
所以c_n+1≤c_n
（Ⅲ）因为cn=anbn=

(2n-1)

3n

，
所以Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

(2n-1)

3n

…①，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

(2n-3)

3n

+

(2n-1)

3n+1

…②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

3

33

+…+

1

3n

)-

(2n-1)

3n+1

=

1

3

+2×

1 32 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

(2n-1)

3n+1

=

2

3

-

2(n+1)

3n+1

所以，Tn=1-

n+1

3n

点评：本题考查数列的通项公式与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．