Question

8．已知递减等差数列{a_n}中，a₃a₇=-12，a₄+a₆=4，则
（1）求数列的通项a_n及前n项和S_n；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设递减等差数列{a_n}的公差为d＜0，可得a₃a₇=-12，a₄+a₆=4=a₃+a₇，解得a₃，a₇，再利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．
（2）由a_n≥0，解得n≤6．可得n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n．n≥7时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S₆-（a₇+…+a_n）=2S₆-S_n．

解答 解：（1）设递减等差数列{a_n}的公差为d＜0，
∵a₃a₇=-12，a₄+a₆=4=a₃+a₇，
解得a₃=6，a₇=-2，
∴4d=-8，解得d=-2．
∴a_n=a₃+d（n-3）=6-2（n-3）=12-2n．
S_n=$\frac{n（10+12-2n）}{2}$=11n-n²．
（2）由a_n=12-2n≥0，解得n≤6．
∴n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n=11n-n²．
n≥7时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S₆-（a₇+…+a_n）=2S₆-S_n=2×（11×6-6²）-（11n-n²）=60-11n+n²．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{11n-{n}^{2}，n≤6}\\{60-11n+{n}^{2}，n≥7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式、绝对值数列求和，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．