Question

设x，y满足约束条件

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=mx+ny（m＞0，n＞0）的最大值为3，则

3

m

+

2

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：可以作出不等式的平面区域，推出2m+3n=3，求

3

m

+

2

n

的最小值，先用乘积进而用基本不等式解答．

解答： 解：不等式组

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线z=mx+ny（m＞0，n＞0）
过直线x-2y+4=0与直线3x-y-3=0的交点（2，3）时，
目标函数z=mx+ny（m＞0，n＞0）取得最大3，
即2m+3n=3，而

3

m

+

2

n

=

1

3

（

3

m

+

2

n

）（2m+3n）=

1

3

(12+

9n

m

+

4m

n

)≥

1

3

(12+12)=8，当且仅当

9n

m

=

4m

n

时去等号．
故

3

m

+

2

n

的最小值为：8．
故答案为：8．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值