Question

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=-$\frac{6}{3cosθ+4sinθ}$，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=3+5cosα\\ y=5+5sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；
（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=5+5sinα}\end{array}}\right.$，消去参数α，得（x-3）²+（y-5）²=25，
即x²+y²-6x-10y+9=0（*），
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．
（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．
由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则$\frac{|3×3+4×5+t|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=5$，
解得t=-4或t=-54，
所以l'的方程为3x+4y-4=0或3x+4y-54=0，即$y=-\frac{3}{4}x+1$或$y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{2}$．
又将直线l的方程化为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$，
所以$m=1-（-\frac{3}{2}）=\frac{5}{2}$或$m=\frac{27}{2}-（-\frac{3}{2}）=15$．

点评 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题