Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=6，3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1}为等比数列；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{a_n}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10与3S_n-1=a_n+2ⁿ⁺¹-10作差，整理得4a_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹，两边同时除以2ⁿ⁺¹整理得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-1=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1）（n≥2），验证当n=1时满足即可；
（2）通过（1）放缩可知b_n＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 证明：（1）∵3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10，
∴当n≥2时，3S_n-1=a_n+2ⁿ⁺¹-10，
两式相减得：3a_n=a_n+1-a_n+2ⁿ⁺¹，
整理得：4a_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹，
两边同时除以2ⁿ⁺¹可知2•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-1=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1），
又∵a₁=6，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$-1=3-1=2，$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-1=$\frac{3{a}_{1}+10-{2}^{1+2}}{{2}^{2}}$-1=4，
于是数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{a_n}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，
于是T_n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．