Question

12．△ABC中，AB=6，AC=4，M为BC的中点，O为△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 13
• C． 5
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，分别求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$的值，再由M是BC边的中点，得到$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$，问题得以解决．

解答 解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=$\frac{|\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{2|\overrightarrow{AO}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AO}$|•$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{2|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=18，
同理可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=8，
∵M是边BC的中点，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$）=$\frac{1}{2}$（18+8）=13，
故选：B．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．