Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），$\overrightarrow{s}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，若随机取一个实数对（x，y），满足x＞0，y＞0且x+y=2，使得|$\overrightarrow{s}$|≤$\sqrt{15}$的概率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算和向量的数量积和向量的模得到x²+y²≤3，再求出AB，CD的长度，根据几何概率公式计算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），$\overrightarrow{s}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，
∴|$\overrightarrow{s}$|²=|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|²=|x$\overrightarrow{a}$|²+|y$\overrightarrow{b}$|²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5x²+5y²≤15，
∴x²+y²≤3，
 对于x+y=2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=2，
∴满足x＞0，y＞0且x+y=2，使得|$\overrightarrow{s}$|≤$\sqrt{15}$的概率为$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题借助向量的数量积和向量的模以及圆和直线的位置关系点与点的距离考查了几何概型概率，属于中档题．