Question

13．设a、b∈R，若函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x²+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
⇒$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{b}{2}＜2}\\{{b}^{2}-4a＞0}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-4＜b＜-2}\\{{b}^{2}＞4a}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$
画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．

解答 解：函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在区间（1，2）上有两个不同的零点，
即方程x²+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
⇒$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{b}{2}＜2}\\{{b}^{2}-4a＞0}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-4＜b＜-2}\\{{b}^{2}＞4a}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$，
如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1
∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时
∴f（1）的取值范围为（0，1）
故答案为：（0，1）

点评 本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．