Question

20．已知正方形ABCD的边长为2，点E在以D为圆心，1为半径的圆上运动，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值为（　　）

• A． 5+2$\sqrt{5}$
• B． -5-2$\sqrt{5}$
• C． -2+2$\sqrt{5}$
• D． 5-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
建立直角坐标系，设点E（m，n），利用数量积表示出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$，
利用数形结合求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值．

解答 解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，

建立直角坐标系，可得D（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），
设E（m，n），则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=（m-2，n）•（m-2，n-2）=（m-2）²+n（n-2）
=（m-2）²+（n-1）²-1，
要求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值，
即求点E（m，n）与点P（2，1）的距离的平方的最小值．
由图象可得，当E在点P与D连线与单位圆的交点时，即为所求．
此时，|PE|=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$-1=$\sqrt{5}$-1，
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值为（$\sqrt{5}$-1）²-1=5-2$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的最值的求法，考查坐标法的运用以及点与圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．