Question

4．已知二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中的各项系数的绝对值之和为128．
（Ⅰ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 （1）二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中的各项系数的绝对值之和为128，即为各项二项式系数之和为128，即2ⁿ=128，解得即可，当r=4时，展开式中系数最大
（2）考虑通项公式中，x的指数为3的倍数的情况，即可得到个数

解答 解：（1）二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中的各项系数的绝对值之和为128，
即为各项二项式系数之和为128，即2ⁿ=128得n=7，
则二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）⁷展开式的通项为（-1）^rC₇^r${x}^{\frac{7-4r}{3}}$，
∵C₇³=C₇⁴=35，
∴当r=4时，展开式中系数最大，
∴展开式中系数最大的项为35x^-3，
（2）当$\frac{7-4r}{3}$为整数时，即r=7，4，1
∴展开式中所有的有理项（-1）⁷C₇⁷x^-7=-x^-7，或35x^-3，-7x

点评 本题考查二项式定理及运用，考查二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．