Question

根据下列条件，判断三角形的形状
（1）tanAtanB=1
（2）tanAtanB＞1．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,三角函数值的符号,两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：（1）利用已知条件，通过同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦函数求解即可，
（2）利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．

解答： 解：（1）tanAtanB=1
可得cosAcosB-sinAsinB=0，cos（A+B）=0．∴A+B=

π

2

，C=

π

2

，
三角形是直角三角形．
（2）因为A和B都为三角形中的内角，
由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，
且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
所以tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

＜0，
则A+B∈（

π

2

，π），即C都为锐角，
所以△ABC是锐角三角形．
故答案为：锐角三角形

点评：（1）考查两角和与差的三角函数，三角形的形状的判断；（2）此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．