Question

15．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x-1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是m，且a，b，c均为正数，a+b+c=m，求$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出a+b+c=2，根据基本不等式的性质，求出代数式的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ x-3≥x-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 3x-1≥x-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\-x+3≥x-1\end{array}\right.$，
解得：0≤x≤2，
故不等式的解集为[0，2]；                                  
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-3，x＜-1\\ 3x-1，-1≤x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$，
显然当x=1时，f（x）有大值，m=f（1）=2，
∴a+b+c=2，
而$（{a+b+c}）（{\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}}）=[{{{（{\sqrt{a}}）}^2}+{{（{\sqrt{b}}）}^2}+{{（{\sqrt{c}}）}^2}}][{{{（{\frac{b}{{\sqrt{a}}}}）}^2}+{{（{\frac{c}{{\sqrt{b}}}}）}^2}+{{（{\frac{a}{{\sqrt{c}}}}）}^2}}]≥{（{a+b+c}）^2}$，
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}≥a+b+c=2$，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{a}}}{{\frac{b}{{\sqrt{a}}}}}=\frac{{\sqrt{b}}}{{\frac{c}{{\sqrt{b}}}}}=\frac{{\sqrt{c}}}{{\frac{a}{{\sqrt{c}}}}}\\ a+b+c=2\end{array}\right.$，即$a=b=c=\frac{2}{3}$时取等号，
故$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}$的最小值是2．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．