Question

17．如图，已知三棱锥O-ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是OA，BC的中点，设$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，$\overrightarrow{OC}$=c．
（Ⅰ）用a，b，c表示$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）求直线MN与直线AC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，能用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$．
（Ⅱ）设直线MN与AC所成的角为θ，则$cosθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AC}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{AC}}|}}}|$．由此能求出直线MN与直线AC所成的角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵三棱锥O-ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，
M，N分别是OA，BC的中点，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$，（2分）
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$．（4分）
（Ⅱ）设直线MN与AC所成的角为θ，
则$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}$=$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$
=$\frac{1}{4}（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）$
=$\frac{1}{4}（{4^2}+{5^2}+{3^2}+15-20-0）=\frac{45}{4}$．（6分）
$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=4²+3²-0=25．（8分）
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{a}}^{2}）$=$\frac{1}{2}（\frac{15}{2}+9-10-0+16）=\frac{45}{4}$．（10分）
∴$cosθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AC}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{AC}}|}}}|=\frac{{\frac{45}{4}}}{{\sqrt{\frac{45}{4}}×5}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$．
∴直线MN与直线AC所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．（12分）

点评 本题考查向量的表示，考查两直线夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．