Question

8．已知双曲线M：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在焦点为（0，1）的抛物线y=mx²上，则双曲线M的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{8}$
• C． $\frac{8\sqrt{7}}{21}$
• D． $\frac{\sqrt{35}}{5}$

Answer 1

分析 根据条件求出交点坐标，结合点与抛物线的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：过点F₁（-c，0）与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线方程为y=b（x+c），
与另一条渐近线y=-bx联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=b（x+c）}\\{y=-bx}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{c}{2}}\\{y=\frac{bc}{2}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2}$），
由y=mx²上得x²=$\frac{1}{m}$y，则焦点坐标为（0，$\frac{1}{4m}$），
由$\frac{1}{4m}$=1得m=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{bc}{2}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{{c}^{2}}{4}$，即c=8b，
∵c²=b²+1，
∴b²=$\frac{1}{63}$，即e=$\sqrt{1+{b}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{7}}{21}$，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线离心离的计算，根据交点坐标以及交点与抛物线的关系建立方程是解决本题的关键．