Question

9．如果直线ax-by+5=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m^x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过一个定点，且该定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{4}$的内部或圆上，那么$\frac{ab}{2a+b}$的取值范围是[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{9}$]．

Answer 1

分析 求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出$\frac{ab}{2a+b}$的取值范围．

解答 解：函数f（x）=m^x+1+1的图象恒过点（-1，2），
代入直线ax-by+5=0可得-a-2b+5=0，
即a+2b=5①．
∵定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{4}$的内部或圆上，
∴（-a）²+（2+b+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{85}{4}$②，
由①②可得b²-3b+2≤0，
∴1≤b≤2，
∴$\frac{ab}{2a+b}$=$\frac{5b-2{b}^{2}}{10-3b}$．
令t=10-3b，可得4≤t≤7，$\frac{ab}{2a+b}$=$\frac{5b-2{b}^{2}}{10-3b}$=$\frac{25}{9}$-$\frac{2}{9}$（t+$\frac{25}{t}$）．
∵4≤t≤7，∴10≤t+$\frac{25}{t}$≤$\frac{74}{7}$．
∴$\frac{3}{7}$≤$\frac{ab}{2a+b}$≤$\frac{5}{9}$．
故答案为：[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{9}$]．

点评 本题考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，考查解不等式，属于中档题．