Question

9．如图，一楼高AB为17.5m，某广告公司在楼顶安装一块高BC为2m的广告牌，安装过程中，工作人员利用一个高EF为1.5m的仪器检测安装效果，设AE=xm，该仪器观察到广告牌的视角∠BFC=θ．
（1）若x=8，求tan∠BFC；
（2）为确保观察效果，要求视角的正切值即tan∠BFC不小于$\frac{1}{18}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 过F作FM⊥AB于M，分别求出tan∠BFM，tan∠CFM，使用差角的正切函数公式计算tan∠BFC．

解答 解：（1）过F作FM⊥AB于M，则FM=AE=8，AM=EF=1.5．
∴BM=16，CM=18．
∴tan∠BFM=$\frac{BM}{FM}$=2，tan∠CFM=$\frac{CM}{FM}$=$\frac{9}{4}$．
∴tan∠BFC=tan（∠CFM-∠BFM）=$\frac{\frac{9}{4}-2}{1+\frac{9}{4}×2}$=$\frac{1}{22}$．
（2）tan∠BFM=$\frac{BM}{FM}$=$\frac{16}{x}$，tan∠CFM=$\frac{CM}{FM}$=$\frac{18}{x}$．
∴tan∠BFC=tan（∠CFM-∠BFM）=$\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{16}{x}•\frac{18}{x}}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+288}$．
∴$\frac{2x}{{x}^{2}+288}$≥$\frac{1}{18}$，即x²-36x+288≤0，
解得12≤x≤24．

点评 本题考查了两角差的正切函数公式，解三角形的应用，属于基础题．