Question

12．若三棱锥P-ABC的四个顶点在同一个球面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=$\sqrt{2}$，则该球的体积等于（　　）

• A． $\sqrt{6}$π
• B． 2$\sqrt{2}$π
• C． 2π
• D． 6π

Answer 1

分析 画出图形，把三棱锥扩展为正方体，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，即可求出该球的体积．

解答 解：由题意画出图形如图，因为三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，
PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=$\sqrt{2}$，
所以三棱锥扩展为正方体，正方体的对角线的长为：PC=$\sqrt{6}$，
所以所求球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以球的体积V=$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故选：A．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质，球的内接几何体与球的关系，考查空间想象能力，计算能力．