Question

12．已知函数f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）当a＜0时，求f（x）的极值；
（3）求证：ln（n+1）＞$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，切点，进而运用点斜式方程，求出切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域，进而得到极小值；
（3）令a=-1，得到f（x）在x=0处取得极小值，也为最小值，且为0，即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，令x=$\frac{1}{n}$，则有ln（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，由于$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，证得ln（1+$\frac{1}{n+1}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．

解答 （1）解：函数f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$的导数为：
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
则函数f（x）在x=0处的切线斜率为1+a=2，切点为（0，0），
即有函数f（x）在x=0处的切线方程为y=2x；
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x+1+a}{{（x+1）}^{2}}$，
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得，x＞-1-a；由f′（x）＜0，解得，-1＜x＜-1-a．
故a＜0时，f（x）的单调增区间为（-1-a，+∞），减区间为（-1，-1-a），
f（x）在x=-1-a取得极小值，且为ln（-a）+1+a．
（3）证明：当a=-1时，由（2）可得，
f（x）的单调增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
则f（x）在x=0处取得极小值，也为最小值，且为0，
即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，
令x=$\frac{1}{n}$，则有ln（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，
由于 $\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有 $\frac{1}{n+1}$＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
则ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即有ln（1+$\frac{1}{1}$）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{3}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n}$）
＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即为ln（$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$••$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
则有ln（n+1）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运用函数的最值证明不等式的方法，考查化简运算能力，属于中档题和易错题．