Question

2．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（-2-x），且函数y=f（x-1）为偶函数，f（-3）=e，则不等式f（x）＜e^x的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 首先构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：∵y=f（x-1）为偶函数
∴y=f（x-1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=-1对称，
∴f（-2-x）=f（x），
∴f（-3）=f（1），
又∵f（-3）=e，
∴f（1）=e，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）＜f（-2-x）=f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）单调递减，
∵f（x）＜e^x，∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，
即g（x）＜1，
又∵g（1）=$\frac{f（1）}{e}$=1，
∴g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系．