Question

1．如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划将其剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）试将该梯形的周长y表示成腰长x的函数；
（2）腰长为多少时，该梯形的周长最大？

Answer 1

分析 （1）通过建系、作辅助线，设腰长AD=BC=x，利用相似比可将上底用比较R和x表示出来，进而计算即得结论；
（2）通过（1）配方可知y=-$\frac{1}{R}$（x-R）²+5R，进而可得结论．

解答 解：（1）建系如图，过C作CE⊥AB于点E，连结AC，则AC⊥BC．
设腰长AD=BC=x，则由相似三角形可知，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴BE=$\frac{{x}^{2}}{2R}$，CD=AB-2BE=2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$，
∴y=AB+CD+AD+BC
=2R+（2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$）+x+x
=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R，
又∵x＞0，$\frac{{x}^{2}}{2R}$＞0，2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$＞0，
∴0＜x＜$\sqrt{2}$R，
∴y=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R（0＜x＜$\sqrt{2}$R）；
（2）由（1）可知，y=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R=-$\frac{1}{R}$（x-R）²+5R，
又∵0＜x＜$\sqrt{2}$R，
∴当x=R时，该梯形的周长最大为5R．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，涉及圆心所对的圆周角、相似三角形等基础知识，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．