Question

已知菱形ABDC的边长为2，对角线AC与BD交于点O，且∠ABC=120°，M为BC的中点．将此菱形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C．
（I）求证：AC⊥BD；
（II）求直线AM与面AOC所成角的余弦值大小．

Answer 1

分析：（I）先根据AO⊥BD，CO⊥BD，得到BD⊥平面AOC；即可得到AC⊥BD；
（II）作MK⊥OC，连接AK结合MK∥BD以及上面的过程可以得到MK⊥面AOC；进而得到∠AOK是直线AM与面AOC所成的角；然后通过求三角形的边长即可得到结论．

解答：（I）证明：因为是菱形ABCD，
所以：

AO⊥BD CO⊥BD AO∩CO=O

⇒

BD⊥平面AOC AC⊆平面AOC

⇒BD⊥AC．…（7分）
（II）解：作MK⊥OC，连接AK，
由MK∥BD，BD⊥面AOC，得到MK⊥面AOC
所以∠AOK是直线AM与面AOC所成的角…（9分）
∵AB=2，BD=2，∴AO=CO=

3

，OK=

3

2

在△AOK中，AK²=AO²+OK²=

15

4

，∴AK=

15

2

…（11分）
在RT△AKM中，∵AK=

15

2

，MK=

1

2

BO=

1

2

，
∴AM=2，cos∠MAK=

AK

MA

=

15

4

∴直线AM与面AOC所成角的余弦值是

15

4

…（14分）

点评：本题主要考察直线与平面所成的角以及线线垂直的证明问题．解决线面所成角问题的关键在于把角做出来，通常做线面角的方法是做面的垂线，进而得到线的射影．