题目内容
如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．
（Ⅰ）已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；
（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若∠DCE=θ（0≤θ≤
），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求总施工费用y的最小值．
（Ⅰ）已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；
（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若∠DCE=θ（0≤θ≤
| π |
| 3 |
考点：函数模型的选择与应用
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）过D作DE⊥AB于E，地下电缆的最短线路为DE，AB，CD，由此能求出该方案的总费用．
（Ⅱ）因为∠DCE=θ，0≤θ≤
，所以CE=EB=
，ED=tanθ，AE=
-tanθ，则y=2×
+2
，令g(θ)=
则g′(θ)=
，由此能求出施工总费用的最小值．
（Ⅱ）因为∠DCE=θ，0≤θ≤
| π |
| 3 |
| 1 |
| cosθ |
| 3 |
| 3-sinθ |
| cosθ |
| 3 |
，令g(θ)=
| 3-sinθ |
| cosθ |
| 3sinθ-1 |
| cos2θ |
解答：
解：（1）过D作DE⊥AB于E，地下电缆的最短线路为DE，AB，CD
该方案总费用为1×4+
×2+2×0.5=5+
（万元）
（2）CE=EB=
，ED=tanθ，AE=
-tanθ
则y=
×4+
×2+(
-tanθ)×2=2×
+2
设g(θ)=
则g′(θ)=
由g'（θ）=0得sinθ0=
，θ0∈(0，
)
列表g(θ)min=g(θ0)=2
，则ymin=4
+2
此时ED=tanθ0=
因此施工总费用的最小值为(4
+2
)万元，其中ED=
该方案总费用为1×4+
| ||
| 2 |
| 3 |
（2）CE=EB=
| 1 |
| cosθ |
| 3 |
则y=
| 1 |
| cosθ |
| 1 |
| cosθ |
| 3 |
| 3-sinθ |
| cosθ |
| 3 |
设g(θ)=
| 3-sinθ |
| cosθ |
| 3sinθ-1 |
| cos2θ |
由g'（θ）=0得sinθ0=
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
列表g(θ)min=g(θ0)=2
| 2 |
| 2 |
| 3 |
此时ED=tanθ0=
| ||
| 4 |
因此施工总费用的最小值为(4
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4 |
点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查导数知识的运用，综合性强．
练习册系列答案
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
相关题目
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
，则a的可能值为（ ）
| 9 |
| 5 |
| A、4 | B、5 | C、6 | D、7 |
函数y=sin（-x）（x∈[0，2π]）的简图是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
2009年某个体企业受金融危机和国家政策调整的影响，经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来的累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系，0≤t≤12）．请根据图象提供的信息解答下列问题：设a，b，c均为正实数，则“a＞b”是“ac＞bc”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |