Question

14．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为$6\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接AB，利用切割线定理先求出PC，进而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC²=AC²+AB²①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一组公共角，可证△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；两式联合可求AC．

解答 解：连接AB，根据切割线定理有，
PA²=PB•PC，
∴10²=5×（5+BC），
解得BC=15，
又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴PA：AB=PC：AC，
∴10：AB=20：AC①；
∵BC是直径，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB²+AC²=15²②；
①②联立解得AC=$6\sqrt{5}$．
故答案为：$6\sqrt{5}$．

点评 本题利用了切割线定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．