Question

球的内接正方体的棱长为a，则该正方体同一棱的两端点间的球面距离均为

3

2

a•arccos

1

3

．

Answer 1

分析：由已知中棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八个顶点都在球O的表面上，我们可以求出球O的半径，进而根据AA₁，解三角形AOA₁，求出∠AOA₁的大小，进而根据弧长公式，即可求出答案．

解答：解：设棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八个顶点都在球O的表面上，
故球O的直径等于正方体的对角线长
即2R=

3

a
∴R=

3

2

a
又∵AA₁=a，根据余弦定理得cos∠AOA₁=

2×( 3 2 a)  2-a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

1

3

，
∴∠AOA₁=arccos

1

3

，
则A，A₁两点之间的球面距离为

3

2

a•arccos

1

3

．
故答案为：

3

2

a•arccos

1

3

．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球面距离，其中根据已知条件求出球的关径，及弧AA₁对应的圆心角的度数是解答本题的关键．