Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，动点P，Q，R分别在边AB、BC、CA上，且满足PQ=QR=PR，则线段PQ的最小值是$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 设∠BPQ=α，PQ=x，用x，α表示出AP，∠ARP，在△APR中，使用正弦定理得出x关于α的函数，利用三角函数的性质得出x的最小值．

解答 解：∵PQ=QR=PR，∴△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°，
∵矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠BCA=60°，
设∠BPQ=α（0＜α＜90°），PQ=x，则PR=x，PB=xcosα，∠APR=120°-α，
∴∠ARP=30°+α，AP=2$\sqrt{3}$-xcosα．
在△APR中，由正弦定理得$\frac{PR}{sinA}=\frac{AP}{sin∠ARP}$，即$\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}-xcosα}{\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα}$，
解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{2cosα+\sqrt{3}sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}sin（α+φ）}$．
∴当sin（α+φ）=1时，x取得最小值$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用，三角函数的恒等变换，属于中档题．