Question

15．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=x+ax²+blnx的导数$f'（x）=1+2a+\frac{b}{x}（x＞0）$，
由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，
得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$；
（2）证明：f（x）=x-x²+3lnx，g（x）=f（x）-2x+2=3lnx-x²-x+2（x＞0），${g^′}（x）=\frac{3}{x}-2x-1=-\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

可得g（x）_max=g（1）=-1-1+2=0，
即g（x）=f（x）-2x+2≤g（1）=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于基础题．