Question

5．直线3x+4y+a=0上存在点M满足过点M作圆（x-2）²+（y-1）²=2的两条切线互相垂直，则a的取值范围是（　　）

• A． （-20，0]
• B． [-20，0]
• C． [-20，0）
• D． （-20，0）

Answer 1

分析 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，1）到直线3x+4y+a=0的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．

解答 解：圆（x-2）²+（y-1）²=2的圆心为：C（2，1），半径为$\sqrt{2}$，
∵直线3x+4y+a=0上存在点M使得过P的圆C的两条切线互相垂直，
∴在直线上存在一点M，使得P到C（0，0）的距离等于2，
∴只需C（2，1）到直线3x+4y+a=0的距离小于或等于2，
故$\frac{|10+a|}{5}$≤2，解得-20≤a≤0，
故选：B．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到C（2，1）到直线3x+4y+a=0的距离小于或等于2是解决问题的关键，属中档题．