Question

14．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，若x+2y＞m²+3m-2恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＜-2或m＞5
• B． -5＜m＜2
• C． -2＜m＜5
• D． m＜-5或m＞2

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质求解x+2y的最小值，即可求解恒成立时实数m的取值范围．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
那么：x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$$≥2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}+4$=8
当且仅当2y=x时，即x=4，y=2时取等号；
要使x+2y＞m²+3m-2恒成立，即8＞m²+3m-2恒成立，
解得：-5＜m＜2；
故选B．

点评 本题考查了基本不等式的性质的运用来解恒等式成立的问题．属于基础题．