Question

17．已知?x₀∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，试求m+n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．

解答 解：（I）令f（x）=|x-1|-|x-2|≥|x-1-x+2|=1≥t，
∴T=（-∞，1]；
（Ⅱ）由（I）知，对于?t∈T，
不等式${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥t恒成立，
只需${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥t_max，
所以${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥1，
又因为m＞1，n＞1，
所以${log}_{3}^{m}$＞0，${log}_{3}^{n}$＞0，
又1≤${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≤${（\frac{{log}_{3}^{m}{+log}_{3}^{n}}{2}）}^{2}$=$\frac{{{（log}_{3}^{mn}）}^{2}}{4}$（${log}_{3}^{m}$=${log}_{3}^{n}$时取“=”），
所以${{（log}_{3}^{mn}）}^{2}$≥4，
所以${log}_{3}^{mn}$≥2，mn≥9，
所以m+n≥2$\sqrt{mn}$≥6，
即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．

点评 本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．