Question

9．在数列{x_n}中，若x₁=1，x_n+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$-1，则x₂₀₁₅=（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由x_n+1+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$，（x_n+1+1）（x_n+1）=1，令b_n=x_n+1，则有 b_n•b_n+1=1，则b_n与b_n+1互为倒数关系，而由 x₁=1，则b₁=2，则 b₂=$\frac{1}{2}$，同理 b₃=2，b₄=$\frac{1}{2}$，…，b₂₀₁₅=2，则x₂₀₁₅=1．

解答 解：由 x_n+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$-1，整理得：x_n+1+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$，即有 （x_n+1+1）（x_n+1）=1，令b_n=x_n+1，则有 b_n•b_n+1=1，
则b_n与b_n+1互为倒数关系，而由 x₁=1，则b₁=2，则 b₂=$\frac{1}{2}$，
同理 b₃=2，b₄=$\frac{1}{2}$，…，因此b₂₀₁₅=2，
∴x₂₀₁₅+1=2，
故x₂₀₁₅=1，
故选：D．

点评 本题考查数列的递推公式，考查数列的性质，数列的周期性，考查计算能力，属于中档题．