Question

8．已知函数f（x）=ax+$\frac{4}{x}$．
（1）若连续掷两次质地均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．
（2）从区间（-2，2）内任取一个实数a，设事件A={方程f（x）-2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的最小值，然后讨论a的取值，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可；
（2）首先求出参数的取值范围，再利用概率公式计算即可．

解答 解：（1）由已知：a＞0，x＞0
所以$f（x）=ax+\frac{4}{x}≥4\sqrt{a}$，∴$f（x）的最小值为4\sqrt{a}$
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立，∴$4\sqrt{a}＞{b^2}$
当 b=1时，a=1，2，3，4，5，6；b=2时，a=2，3，4，5，6；b=3时，a=6，
∴P（B）=$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
（2）∵函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的正实数根，
∴$ax+\frac{4}{x}-2=0$即ax²-2x+4=0有两不等的正实数根x₁和x₂
∴$\left\{{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a≠0\\△=4-16{a^{\;}}＞0\end{array}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x_1}{x_2}=\frac{4}{a}＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{4}$，
∴$P（A）=\frac{1}{4}÷4$=$\frac{1}{16}$

点评 本题主要考查了古典概型的概率问题以及函数的零点和最值问题．