Question

已知关于的函数，其导函数为．记函数 在区间上的最大值为．

(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；

(2) 若，证明对任意的，都有；

(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值．

 

Answer 1

（1），；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先对求导，由于在x=1处有极值，则，，列出方程组，解出b和c的值，由于得到了两组值，则需要验证看是否符合已知条件，若不符合需舍掉；第二问，可以利用二次函数图象和性质直接证明，也可以利用反证法证明出矛盾，从而得到正确结论；第三问，结合第二问的结论，可以直接得到时的情况，当时需分，，三种情况讨论，最后综合所有情况再得出结论.

试题解析：（1） ∵，由在处有极值，可得

，解得，或 2分

若，，则，此时函数没有极值； 3分

若，，则,此时当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴ 当时，有极大值，故，即为所求。 4分

（2）证法一：

当时，函数的对称轴位于区间之外

∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个

∴ ，即 8分

证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个，

假设，则，将上述两式相加得: 6分

,得，产生矛盾，

∴ 8分

（3）

（ⅰ）当时，由（2）可知； 9分

（ⅱ）当时，函数的对称轴位于区间之内，

此时，由，有

①若，则，则，

于是

11分

②若，则，则

于是 13分

综上可知，对任意的、都有

而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分

考点：导数的运算、利用导数求函数的极值和最值.