Question

13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，其中A=120°，b=1，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由条件和三角形的面积公式列出方程求出c的值，由余弦定理求出a的值，由正弦定理和分式的性质求出$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵A=120°，b=1，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，解得c=4，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=1+16-2×$1×4×（-\frac{1}{2}）$=21，则a=$\sqrt{21}$，
∴由正弦定理得，$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{7}$，
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、变形能力，属于中档题．