Question

10．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（$\frac{π}{24}$）的值；
（2）若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式化简化简解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，代入利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数，由[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，解不等式组即可得解m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（$\frac{π}{24}$）=2sin（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）+1=2sin$\frac{π}{4}$+1=$\sqrt{2}+1$，
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得k$π-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）在区间[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z上是增函数，
∴当k=0时，f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数，
若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，则[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{π}{6}$，
∴m的最大值是$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，正弦函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题．