Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上项点为B₁，右、右焦点为F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面积为的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x，y）是以线段F₁F₂为直径的圆上一点，且x＞0，y＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形的面积公式和等边三角形的性质可得=，a=2c，又a²=b²+c²．即可解出．
（Ⅱ）由F₁F₂是圆的一条直径，可得圆的方程为x²+y²=1．又P（x，y）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，可得，解得．可得切线方程为，又，即可得出；．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），据重心定理可得G，H．若原点O在以线段GH为直径的圆内??x₁x₂+y₁y₂＜0，联立，可得y₁+y₂，y₁y₂，又，即可证明x₁x₂+y₁y₂＜0．
解答：解：（I）∵=，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴椭圆C的方程为：
（Ⅱ）∵F₁F₂是圆的一条直径，∴圆的方程为x²+y²=1，
又P（x，y）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴，解得．
∴切线方程为，又，
化为l：xx+yy-1=0．
∴切线方程为l：xx+yy-1=0．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则G，H．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则，即，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面给出证明：联立，
消去x整理为，
∴，，
∴==，
∴x₁x₂+y₁y₂==-0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算、直线与圆相切、点与圆的位置关系判定等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．．