Question

如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)．如此继续下去，得图(3)…试求第n个图形的边长和周长．

Answer 1

解：设第n个图形的边长为a_n，
由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，
故，
要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数，第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为3×4^n-1，
因此，第n个图形的周长=×（3×4^n-1）=3×。