题目内容

设x，y，z∈R+，求证：
x
y+z
+
y
x+z
+
z
x+y
≥
3
2
．
分析：先设S=x+y+z，将
x
y+z
+
y
x+z
+
z
x+y
转化成
S
y+z
+
S
x+z
+
S
x+y
-3，然后根据基本不等式进行证明即可得到所证．
解答：解：设S=x+y+z
x
y+z
+
y
x+z
+
z
x+y

=
S
y+z
+
S
x+z
+
S
x+y
-3
≥
9
y+z
S
+
x+z
S
+
x+y
S
-3
=
9
2
-3=
3
2

∴原不等式成立．
点评：本题主要考查了基本不等式的证明，以及不等式
a+b+c
3
≥
3
1
a
+
1
b
+
1
c
的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设x、y、z∈R+且3x=4y=6z
（1）求使2x=py的p的值 （2）求与（1）中所求P的差最小的整数
（3）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
（4）比较3x、4y、6z的大小．
设x，y，z∈R+，求证：
2x2
y+z
+
2y2
z+x
+
2z2
x+y
≥x+y+z．
设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求u=
x2
x+1
+
2y2
y+2
+
3z2
z+3
的最小值．
设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z．
（1）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
；  
（2）比较3x，4y，6z的大小．
（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）设x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，试求x-2y+2z的最小值及相应x，y，z的值．

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