Question

19．设函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}cos2x$．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的值域．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}cos2x$=sin2x•$\frac{1}{2}$+cos2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函数f（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到函数g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x的图象，
在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，-$\frac{1}{2}$≤cos2x≤1，∴g（x）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．
即g（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．